جواب سوالات صفحه 90 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 90 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این فعالیت پیوند بین **نمودار تابع درجه دوم (سهمی)** و **حل نامعادلات درجه دوم** را به خوبی نشان می‌دهد. ### **الف) تحلیل هندسی (نمودار)** **سوال:** برای چه مقادیری از $x$، نمودار سهمی ($y = x^2 - 2x - 3$) **پایین محور $x$ها** است؟ * **پایین محور $x$ها** به این معنی است که $\mathbf{y < 0}$ است (علامت منفی). * **محل ریشه‌ها:** نمودار محور $x$ را در $\mathbf{x = -1}$ و $\mathbf{x = 3}$ قطع کرده است. $$\text{بازه:} \quad \mathbf{-1 < x < 3}$$ **جواب:** نمودار سهمی برای مقادیر $x$ در بازه‌ی $\mathbf{(-1, 3)}$ پایین محور $x$ها قرار دارد. --- ### **ب) تعیین علامت جبری** **گام ۱: پیدا کردن ریشه‌ها** معادله‌ی $x^2 - 2x - 3 = 0$ را تجزیه می‌کنیم (حاصل‌ضرب $-3$، حاصل‌جمع $-2$): $$(x - 3)(x + 1) = 0$$ * **ریشه‌ها:** $x_1 = -1$ و $x_2 = 3$. **گام ۲: تشکیل جدول تعیین علامت** * **ضریب $a$:** ضریب $x^2$ برابر $\mathbf{a = +1}$ است (مثبت). سهمی رو به بالا باز می‌شود. * **قاعده:** بین ریشه‌ها **مخالف** $a$ (منفی) و خارج ریشه‌ها **موافق** $a$ (مثبت) است. | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{x^2 - 2x - 3}$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | **سوال:** برای چه مقادیری از $x$، علامت $y$ **منفی** است؟ $$\text{بازه: } \quad \mathbf{-1 < x < 3}$$ **جواب:** علامت $y$ برای مقادیر $x$ در بازه‌ی $\mathbf{(-1, 3)}$ منفی است. --- ### **پ) ارتباط با حل نامعادله** **سوال:** نشان دهید از این جواب‌ها می‌توان برای حل نامعادله‌ی $\mathbf{x^2 - 2x - 3 < 0}$ استفاده کرد. **پاسخ:** نامعادله‌ی $\mathbf{x^2 - 2x - 3 < 0}$ از ما می‌خواهد مقادیری از $x$ را پیدا کنیم که در آن‌ها عبارت درجه دوم، **منفی** باشد. * **نتیجه‌ی الف (هندسی):** نمودار پایین محور $x$ها (منفی) در بازه‌ی $(-1, 3)$ است. * **نتیجه‌ی ب (جبری):** علامت عبارت منفی است در بازه‌ی $(-1, 3)$. $$\mathbf{\text{مجموعه جواب نامعادله: } (-1, 3)}$$ **نتیجه‌گیری:** چون هم تحلیل هندسی (پایین محور $x$) و هم تحلیل جبری (علامت منفی) به یک مجموعه جواب واحد رسیدند، می‌توان نتیجه گرفت که روش‌های **تحلیل نمودار** و **تعیین علامت جبری**، هر دو روش‌هایی معتبر برای حل نامعادلات درجه دوم هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 90 ریاضی دهم ما هر نامعادله را با دو روش **هندسی (نمودار سهمی)** و **جبری (جدول تعیین علامت)** حل می‌کنیم. --- ### **الف) $\mathbf{x^2 \le 4}$** **گام ۱: استانداردسازی** $$x^2 - 4 \le 0$$ (تابع $\mathbf{y = x^2 - 4}$) #### **روش ۱: حل هندسی** * **رسم نمودار:** سهمی $y = x^2 - 4$ رو به بالا باز می‌شود ($athbf{a = 1 > 0}$) و محور $x$ را در ریشه‌های $\mathbf{x = -2}$ و $\mathbf{x = 2}$ قطع می‌کند. * **تحلیل:** نامعادله $\mathbf{y \le 0}$ را می‌خواهد (نقاطی که سهمی زیر یا روی محور $x$ است). * **جواب هندسی:** سهمی بین ریشه‌ها زیر محور $x$ است. $$\mathbf{\text{جواب هندسی: } [-2, 2]}$$ #### **روش ۲: جدول تعیین علامت** * **ریشه‌ها:** $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ * **علامت $\mathbf{a}$:** $athbf{a = 1}$ (مثبت) | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $-2$ | $2$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{x^2 - 4}$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | * **نتیجه:** ناحیه‌ی $\mathbf{-}$ و $0$ مورد نظر است. $$\mathbf{\text{جواب جبری: } [-2, 2]}$$ --- ### **ب) $\mathbf{3x^2 - x - 2 \ge 0}$** **گام ۱: پیدا کردن ریشه‌ها** از فرمول دلتا استفاده می‌کنیم: $\mathbf{a = 3, b = -1, c = -2}$ $$\Delta = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$$ $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2(3)} = \frac{1 \pm 5}{6}$$ * **ریشه‌ها:** $x_1 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = \mathbf{-\frac{2}{3}}$ و $x_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = \mathbf{1}$ #### **روش ۱: حل هندسی** * **رسم نمودار:** سهمی $y = 3x^2 - x - 2$ رو به بالا باز می‌شود ($athbf{a = 3 > 0}$) و محور $x$ را در $\mathbf{x = -\frac{2}{3}}$ و $\mathbf{x = 1}$ قطع می‌کند. * **تحلیل:** نامعادله $\mathbf{y \ge 0}$ را می‌خواهد (نقاطی که سهمی بالا یا روی محور $x$ است). * **جواب هندسی:** سهمی در خارج ریشه‌ها بالای محور $x$ است. $$\mathbf{\text{جواب هندسی: } (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup ,1 +\infty)}$$ #### **روش ۲: جدول تعیین علامت** * **علامت $\mathbf{a}$:** $athbf{a = 3}$ \cup [1, +\infty)}$$